РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521398 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 206

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $синус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Перепишем уравнение в виде $косинус 2x= косинус x минус синус x$

$левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс синус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$ $левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс синус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.$

Либо $косинус x минус синус x=0,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,$ либо $синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть $x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k$ или $x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k.$

Итого $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k$

б)  На указанном промежутке лежат $дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0.$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521398

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 206

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521398	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая фигурная скобка .$