Тип Д18 C7 № 521359 
Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках
i
На доске записано несколько (не менее трёх) различных натуральных чисел, меньших 100, среди которых есть число 51.
Известно, что сумма любых двух из записанных чисел делится на какое‐либо из оставшихся чисел (*).
а) Может ли на доске быть написано ровно три числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно 51 число?
в) Петя записал на доске все числа от 1 до 99 и проверил, что для них выполняется условие (*). Миша стёр одно число, после чего условие (*) перестало выполняться. Какое число мог стереть Миша?
Решение. а) Да, например 17, 34, 51.
б) Да, например все нечетные и число 2. Любые суммы двух нечетных делятся на 2, 2 + 1 делится на 3, а все прочие суммы делятся на 
в) Очевидно, он мог стереть число 1 (поскольку 99 + 2 больше ни на что не делилось).
Если он стер 2, то свойство сохранится. В самом деле, любая сумма делится на 1. Если же использовать сумму 1 + n, где n < 99, то она будет делиться на n + 1, а в том случае, если n = 99, полученная сумма будет делиться на 4.
Если он стер p — нечетное простое число, то 1 + (p − 1) ни на что больше не делится.
Если же он стер составное число, то свойство сохранится. В самом деле, любая сумма делится на 1. Если же использовать сумму 1 + (n − 1), то она будет делиться на любой делитель n, кроме единицы и самого числа (они под запретом). n − 1 не может быть делителем n при n > 2.
Ответ: а) Да, например 17, 34, 51; б) Да, все нечетные и число 2; в) 1 или любое простое число, отличное от 2.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) Да, например 17, 34, 51; б) Да, все нечетные и число 2; в) 1 или любое простое число, отличное от 2.
521359
а) Да, например 17, 34, 51; б) Да, все нечетные и число 2; в) 1 или любое простое число, отличное от 2.
PDF-версии: