Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Тогда:

Обо­зна­чим ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за Тогда Зна­чит, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOD имеем:

б)  Нужно, чтобы пло­щадь ос­но­ва­ния была мак­си­маль­на. При этом вер­ши­на D лежит на окруж­но­сти с цен­тром O и ра­ди­у­сом По­сколь­ку пло­щадь ABC фик­си­ро­ва­на, нужно мак­си­ми­зи­ро­вать пло­щадь ACD, то есть вы­со­ту Про­ве­дем окруж­ность с цен­тром O и ра­ди­у­сом а к ней ка­са­тель­ную, па­рал­лель­ную Ясно, что наи­боль­шее рас­сто­я­ние от точки D на этой окруж­но­сти до AC будет, когда D  — точка ка­са­ния (точ­нее, так будет, по­то­му что мы рас­смат­ри­ва­ем не всю окруж­ность, а толь­ко дугу, за­дан­ную пе­ре­се­че­ни­ем с окруж­но­стью про­дол­же­ний BA и BC, по­сколь­ку толь­ко для точек на этой дуге ABCD будет вы­пук­лым). При этом про­дол­же­ние вы­со­ты будет про­хо­дить через точку O (и точку B) и:

Ответ: а) б)