PDF-версии: 
Найдите все а, при каждом из которых система
имеет ровно три решения.
Решение. Выразим из второго уравнения
и подставим в первое:
Поэтому оно задает четыре дуги окружностей радиуса 
с центрами в точках 
(дуги, а не окружности целиком, потому что нужно следить за знаками при раскрытии модулей). Все эти окружности проходят через начало координат, поэтому точка 
тоже принадлежит фигуре. Будем называть дуги по номерам четвертей. Второе уравнение дает 
то есть задает прямую, проходящую через точку 
Ясно, что горизонтальная прямая подходит. При увеличении a прямая имеет сначала по две общие точки с дугами в третьей и четвертой четвертях до момента касания с дугой в третьей четверти. Выясним, когда это происходит. Нужно, чтобы расстояние от точки 
до прямой было равно 
Приравниваем:
второй корень уравнения отрицателен и потому не нужен. При дальнейшем увеличении a прямая будет крутиться вокруг точки 
и давать два решения (только в четвертой четверти), пока либо не пройдет через точку 
либо не коснется окружности в первой четверти. Через 
она пройдет если 
то есть 
Коснется -- если центр будет на нужном расстоянии от прямой. Приравниваем:
поэтому сначала произойдет касание, потом будет пересечение с дугой в первой четверти, а при 
снова будет три решения — два решения на четвертой и первой дугах совпадут. Затем решений будет два.
Теперь разберем отрицательные 
Снова начнем с 
и будем уменьшать Прямая повернется в другую сторону. Сначала будет два решения, так будет даже в тот момент, когда прямая пройдет через точку 
(коснуться дуги во второй четверти она не может). Дальше их снова будет два (на второй и четвертой дугах) и так будет все время, кроме случая, когда прямая проходит через начало координат — отдельную точку нашей фигуры. Там решений будет три. Это произойдет при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |