РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 521140 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 180

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .$

Решение. Сразу отметим, что $x в квадрате больше 0,$ $x минус 1 больше 0,$ $x в квадрате не равно 1,$ $6 минус x больше 0,$ $6 минус x не равно 1.$ Поэтому $x принадлежит левая круглая скобка 1;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$ Перейдем к основанию 2 и рационализируем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Уберем множители, которые положительны (у нас $x больше 1$ ):

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус x конец дроби больше или равно 0.$

Применяя метод интервалов, получаем $x принадлежит левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 5; бесконечность правая круглая скобка .$ Учитывая ограничения, получим: $x принадлежит левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

521140

$левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 180

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521140	$левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$