РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521085 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 174

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате x конец дроби = 1 плюс синус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение и сделаем замену $t= синус x.$ Получим

$дробь: числитель: 2, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби конец дроби =1 плюс синус x равносильно 2 косинус в квадрате x=1 плюс синус x равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x=1 плюс синус x равносильно 2t в квадрате плюс t минус 1=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби конец дроби =1 плюс синус x равносильно 2 косинус в квадрате x=1 плюс синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x=1 плюс синус x равносильно 2t в квадрате плюс t минус 1=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби конец дроби =1 плюс синус x равносильно 2 косинус в квадрате x=1 плюс синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x=1 плюс синус x равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс t минус 1=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

В первом случае $косинус x=0$ и изначальное уравнение не определено. Во втором случае $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k.$

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни. Получим $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521085

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 174

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521085	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$