РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521071 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 172

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

Дано уравнение $4 косинус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1 = 0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка арккосинус 0; арккосинус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Решение. Применим формулу косинуса двойного угла

$4 косинус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1 = 0 равносильно 4 косинус в степени 4 x минус 5 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка минус 1=0.$

Обозначив $t= косинус в квадрате x, t принадлежит левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка$ получим

$4t в квадрате минус 10t плюс 4=0 равносильно совокупность выражений t=2, t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$

б)  На промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка$ лежит корень $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $k принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521071

а) $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $k принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 172

Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521071	а) $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $k принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$