PDF-версии: 
На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.
а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, 
Решение. а) Поскольку медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса, плоскость ACS содержит высоту конуса. Значит, AC — диаметр основания конуса и SN — его высота.
Медиана BN треугольника ABC перпендикулярна прямой AC. Также отрезок BN перпендикулярен высоте конуса SN как радиус основания. Следовательно, прямая BN перпендикулярна плоскости ACS, а значит, угол MNB прямой.
б) Пусть K — середина отрезка BC, AS = 2, Тогда искомый угол будет равен углу AMK, поскольку средняя линия MK треугольника BCS параллельна прямой SB; 
Найдем медиану AM треугольника ACS:
В прямоугольном треугольнике ABC имеем:
Применим теперь теорему косинусов к треугольнику AMK, получаем:
откуда 
Ответ: б) 
Приведем решение Валентина Евстафьева (Санкт-Петербург).
Ось конуса пересекает прямую AM, значит, лежит в плоскости AMC. Прямая BN — медиана равнобедренного треугольника, значит, она перпендикулярна прямой AC. Тогда модно ввести прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.
а) Вектор 
параллелен вектору 
значит, 
Тогда отрезок NM лежит в плоскости yNz и 
Тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю. Поскольку эти векторы ненулевые, они взаимно перпендикулярны.
б) Определим координаты необходимых точек. Сначала вычислим длину отрезка SN по теореме Пифагора из треугольника ASN: 
Тогда
Найдем векторы:
Заметим, что BS = AS = 2. Следовательно,
откуда AM = 2. Найдем скалярное произведение:
Таким образом, искомый угол равен 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |