РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 520521 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Последовательность a₁, a₂, ...,a_n,... состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 9a₄?

б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $3na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a_n?$

Решение. а)  Пусть $a_1=3$ и $a_2=1.$ Тогда $a_3=3 плюс 1=4, a_4=1 плюс 4=5, a_5=4 плюс 5=9$ и $5a_5=9a_4.$

б)  Предположим, что $5a_5=7a_4.$ Тогда $a_5=7a$ и $a_4=5a,$ где $a= дробь: числитель: a_5, знаменатель: 7 конец дроби больше 0.$ Имеем:

$a_3=a_5 минус a_4=2a,$

$a_2=a_4 минус a_3=3a,$

$a_1=a_3 минус a_2= минус a меньше 0.$

Получаем противоречие.

в)  Пример последовательности 3, 3, 6, 9, 15, 24,  ... показывает, что равенство $3na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a_n$ может выполняться при $n=5.$ Действительно, для такой последовательности выполнены условия задачи и $15a_6=24a_5.$

Пусть $n\geqslant6$ и $3na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a_n.$ Положим $a= дробь: числитель: a_n, знаменатель: 3n конец дроби больше 0,$ тогда $a_n=3na$ и $a_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a.$ Имеем:

$a_n минус 1=a_n плюс 1 минус a_n= левая круглая скобка n в квадрате минус 3n минус 1 правая круглая скобка a;$

$a_n минус 2=a_n минус a_n минус 1= левая круглая скобка минус n в квадрате плюс 6n плюс 1 правая круглая скобка a;$

$a_n минус 3=a_n минус 1 минус a_n минус 2= левая круглая скобка 2n в квадрате минус 9n минус 2 правая круглая скобка a;$

$a_n минус 4=a_n минус 2 минус a_n минус 3= минус 3 левая круглая скобка n в квадрате минус 5n минус 1 правая круглая скобка a.$

Так как $a_n минус 4 больше 0,$ получаем, что $n в квадрате минус 5 n минус 1 меньше 0.$ При $n больше или равно 6$ это неравенство не выполнено. Полученное противоречие показывает, что при $n больше или равно 6$ равенство $3 n a_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a_n$ выполняться не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) при $n=5.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) да; б) нет; в) при $n=5.$

520521

а) да; б) нет; в) при $n=5.$

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	520521	а) да; б) нет; в) при $n=5.$