РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 519828 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =4.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Запишем уравнение в виде $3 в степени левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =4.$ Сделаем замену $y=3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка .$

Получаем $дробь: числитель: 3, знаменатель: y конец дроби плюс y=4 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 4y плюс 3, знаменатель: y конец дроби =0 равносильно совокупность выражений y = 1,y = 3. конец совокупности$

Тогда $3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =1$ или $3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3,$ откуда $косинус в квадрате x=0$ или $косинус в квадрате x=1.$

Тогда $косинус x=0, косинус x= минус 1$ или $косинус x=1,$ откуда $x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,$ где $n принадлежит Z .$

б)  Отберём корни на отрезке $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ с помощью единичной окружности. Получаем $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $x= левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ;n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

519828

а) $x= левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ;n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519828	а) $x= левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ;n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$