РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 519681 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $4 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка конец дроби плюс 3=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение

$4 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка конец дроби плюс 3=0 равносильно 4 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 3=0 равносильно 4 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 3=0 равносильно$ $4 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка конец дроби плюс 3=0 равносильно 4 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 4 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 3=0 равносильно$ $4 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка конец дроби плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 4 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 4 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 3=0 равносильно$

$равносильно система выражений косинус в квадрате x минус 3 косинус x минус 4=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x=4, косинус x = минус 1. конец системы . косинус x не равно 0 конец совокупности . равносильно косинус x= минус 1 равносильно x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $равносильно система выражений косинус в квадрате x минус 3 косинус x минус 4=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x=4, косинус x = минус 1. конец системы . косинус x не равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x= минус 1 равносильно x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи k меньше или равно 4 Пи равносильно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 2 Пи k меньше или равно 3 Пи равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно k=1.$

Тогда искомый корень $3 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $3 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $3 Пи .$

519681

а) $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $3 Пи .$

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519681	а) $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $3 Пи .$