Найдите все a, при каждом из которых уравнение 
имеет 4 решения, где f — четная периодическая функция с периодом 
определенная на всей числовой прямой, причем 
если 
Решение. Если 
то функция 
тождественно равна нулю, и её график имеет с графиком функции 
единственную общую точку.
Пусть 
График функции представляет собой совокупность участков парабол с направленными вверх ветвями (изображено синим). Решение 
есть при всех a. Нужно ещё ровно три решения. Единственный возможный случай показан на рисунке: график функции 
(изображен красным) проходит через точку A
Составим уравнение:
откуда 
Теперь пусть 
График функции представляет собой совокупность участков парабол с ветвями, направленными вниз (изображено зелёным). Четыре решения будут, только если график функции проходит через точку B
Составим уравнение:
откуда 
Получаем: 
или
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. ИЛИ Установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |