PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA1.
а) Докажите, что прямые
б) Найдите расстояние между прямыми
Решение. а) Проведем 
(см. рис. 1), тогда 
— проекция 
на плоскость 
Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах прямые и BM
Докажем (*). Заметим (см. рис. 2), что треугольники 
на угол 
по часовой стрелке и совместим точку B с точкой A. Сторона AM совместится со стороной HB, а сторона AB — со стороной 
Поскольку после поворота на стороны 
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Заметим, что 
и 
(из п. а), следовательно, 
а тогда K — проекция MB на плоскость 
Проекцией прямой 
на плоскость 
является сама прямая 
Осталось найти расстояние от K до
В треугольнике MAB находим 
Тогда в треугольнике HKB имеем: 
Треугольники и 
подобны (см. рис. 3), поэтому
откуда
Ответ: 
Докажем (*), не используя поворот и сдвиг.
В силу равенства треугольников 
Следовательно, треугольник HKB также прямоугольный.
Приведем решение векторно-координатным методом (Денис Чернышев, Тюмень).
Решим задачу координатным методом. Введем оси координат так, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Выше мы учли, что в равносторонне треугольнике 
а) Найдем координаты векторов, лежащих на прямых MB и B1C:
Эти векторы перпендикулярны, поскольку их скалярное произведение равно нулю:
Значит, и прямые прямых MB и B1C перпендикулярны, что и требовалось доказать.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до параллельной ей плоскости, содержащей другую прямую. Следовательно, расстояние между MB и B1C есть расстояние от точки C до плоскости MBC2. Зная координаты точек, найдем уравнение этой плоскости:
И расстояние от точки до плоскости плоскости MBC2 дается формулой:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |