РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 519516 Добавить в вариант

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $\log _x в квадрате плюс 1\ левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 15 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 23, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 14 конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Заметим, что $x в квадрате плюс 1 больше 1$ при $x не равно 0.$ На этом множестве данное неравенство равносильно неравенству

$дробь: числитель: 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 15 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 23, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 14 конец дроби больше или равно 1.$

Положив $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =t,$ имеем:

$дробь: числитель: 2t в квадрате минус 15t плюс 23, знаменатель: t в квадрате минус 9t плюс 14 конец дроби больше или равно 1 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: t в квадрате минус 9t плюс 14 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t в квадрате минус 9t плюс 14 конец дроби больше или равно 0,$

откуда находим $t меньше 2,t=3,t больше 7.$

Далее имеем: $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 2,2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =3,2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 7,$ откуда $x меньше 1,x=\log _23,x больше \log _27.$

Учитывая условие, окончательно получаем: $x меньше 0,0 меньше x меньше 1,x=\log _23,x больше \log _27.$

Ответ: б) $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка \log _23 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка \log _27; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

519516

б) $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка \log _23 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка \log _27; плюс бесконечность правая круглая скобка .$