PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Заметим, что на области определения системы уравнений справедлива равносильность
Тогда при условии существования логарифма 
имеем два случая:
(1) или 
(2)
Изобразим графики полученных уравнений и область определения — внутреннюю часть круга 
радиуса 3 с центром в начале координат (см. рис.) в одной системе координат. Определим, при каких значениях параметра уравнение (1) и система (2) совместно имеют ровно два решения, лежащие в области 
Рассмотрим уравнение (1). При
уравнение имеет одно решение — пару (−5; 0); точка (−5; 0) не лежит в 
При прочих значениях параметра уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы исходная система могла иметь ровно два решения, решения уравнения (1) должны лежать вне области определения системы: радиус окружности должен быть таким, что ни одна из ее точек не попадала в область Находим (см. рис.): 
или 
Рассмотрим систему (2). Окружность, задаваемая первым уравнением, может иметь с прямой, задаваемой вторым уравнением, 0, 1 или 2 общие точки. Определим, какие значения параметра соответствуют касанию. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AOC найдем
откуда 
или 
Следовательно, при 
система имеет два решения. Оба они лежат в области
Тем самым, при 
исходная система уравнений имеет ровно два решения.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением или исключением точек граничных точек | 3 |
| Решение содержит грубую логическую ошибку | 2 |
| Верно построено множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |