РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 519387 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

На полиграфической фабрике страницы тетради пронумерованы числами от 1 до 96. На случайной странице Максим записал число 0 и пронумеровал все страницы далее до конца тетради числами 1, 2, 3,... и т. д., не пропуская ни одной. Затем он вернулся к странице с записанным 0 и пронумеровал страницы тетради назад числами −1, −2, −3, ... и т. д. до начала тетради без пропусков. Сумма всех записанных чисел в тетради равна S. Определите номер страницы фабричной нумерации, на которой Максим записал число 0, если:

а) $S=48;$

б)   $S=4560;$

в)   $S=1968$

Решение. а)  Пусть Максим записал 0 на странице с номером 48. Тогда сумма чисел, записанных Максимом на страницах

с 1 по 95 равна $минус 47 минус 46 минус 45 минус ... минус 1 плюс 0 плюс 1 плюс 2 плюс ... плюс 47=0.$ Тогда $S=48,$ что и требовалось.

б)  Заметим, что чем больше номер страницы, на которой Максим написал число 0, тем меньше сумма написанных им чисел. Найдем сумму чисел от 1 до 95. Она равна $1 плюс 2 плюс ... плюс 95= левая круглая скобка 95 умножить на 96 правая круглая скобка :2=4560.$ Теперь понятно, что 0 написан на первой странице. Действительно, если бы 0 был написан на какой-то из последующих страниц, то сумма бы уменьшилась.

в)  Пусть Максим записал 0 на странице с номером $n.$ Тогда сумма чисел, записанных на страницах с номерами от 1 до $2n минус 1$ включительно равна $минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус ... плюс 0 плюс 1 плюс 2 плюс ... плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =0.$ Останется всего $96 минус левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка =97 минус 2n$ страниц.

Значит, $S=n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс ... плюс 96 минус n.$ Используя формулу суммы арифметической прогрессии получаем:

$1968= дробь: числитель: n плюс 96 минус n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 97 минус 2n правая круглая скобка равносильно 1968=48 левая круглая скобка 97 минус 2n правая круглая скобка .$

Отсюда $n=28.$

Ответ: а)  48; б)  1; в)  28.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в	4
Приведем верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте в ИЛИ Обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в	3
Приведен верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в	2
Приведен верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  48; б)  1; в)  28.

519387

а)  48; б)  1; в)  28.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519387	а)  48; б)  1; в)  28.