РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 518146 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ — 2017. Вариант 610 (часть 2)

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Треугольники и их свойства

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно прямой CO.

а)  Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.

б)  Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB  =  10, AC  =  8 и BC  =  6.

Решение.

Рис. 1

а)  Луч CO является биссектрисой угла ACB, поэтому точка B₁ лежит на отрезке AC (рис. 1). Луч BO является биссектрисой угла ABC, поэтому

$\angleABO=\angleCBO=\angleCB_1O=180 градусов минус \angleAB_1O.$

Значит, около четырёхугольника ABOB₁ можно описать окружность.

б)  Треугольник ABC прямоугольный (рис. 2), поскольку $AC в квадрате плюс BC в квадрате =AB в квадрате .$ Радиус r вписанной в него окружности равен

$дробь: числитель: AC плюс BC минус AB, знаменатель: 2 конец дроби =2.$

Найдем площади треугольников ABC, BOC и B₁OC:

$S_ABC= дробь: числитель: AC умножить на BC, знаменатель: 2 конец дроби =24,S_BOC= дробь: числитель: BC умножить на r, знаменатель: 2 конец дроби =6,S_B_1OC= дробь: числитель: B_1C умножить на r, знаменатель: 2 конец дроби =6.$

Рис. 2

Треугольник ABC составлен из четырёхугольника ABOB₁ и треугольников BOC и B₁OC. Значит, площадь четырёхугольника ABOB₁ равна

$S_ABC минус S_BOC минус S_B_1OC=12.$

Ответ: б) 12.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 12.

518146

б) 12.

Источник: ЕГЭ — 2017. Вариант 610 (часть 2)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	518146	б) 12.