PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB
AA1 = 4. Точка M — середина ребра BC.
а) Докажите, что прямые B1C и C1M перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.
Решение. а) Поскольку
и 
перпендикулярны.
б) Пусть
— середина 
тогда угол между прямой и плоскостью грани 
равен углу между этой плоскостью и прямой 
Обозначим через 
перпендикуляр, опущенный на 
Прямая перпендикулярна плоскости грани 
поскольку она перпендикулярна прямым 
и 
Поэтому искомый угол равен углу 
В прямоугольном треугольнике 
:
откуда 
Ответ: б) 30°.
Приведём векторное решение Дениса Чернышёва (Тюмень).
а) Введем векторы
как показано на рисунке, и выразим через введённый базис векторы
Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой лежащей в ней прямой, поэтому 
откуда
Подставляя 
получим
Значит, прямые B1C и C1M перпендикулярны, что и требовалось доказать.
б) Пусть искомый угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1 равен α. Чтобы найти его, нужно знать вектор, перпендикулярный к плоскости 
Это вектор 
Тогда
Учитывая, что 
получаем:
Значит, 
Приведем решение Ивана Иванова (Владивосток).
а) Введём прямоугольную систему координат: поместим начало координат в точку A, ось Ox направим вдоль прямой AB, ось Oy — перпендикулярно AB в плоскости ABC так, чтобы ордината точки C была положительной, а ось Oz направим вдоль прямой AA1 (см. рис.). В данной системе координат находим координаты точек:
Далее находим:
Скалярное произведение векторов равно нулю, значит, вектор 
перпендикулярен вектору 
Эти векторы являются направляющими векторами прямых B1C и C1M следовательно, эти прямые перпендикулярны.
б) Плоскость грани ABB1A1 — это плоскость Axz, уравнение которой имеет вид y = 0. Единичный вектор нормали к этой плоскости имеет вид 
Синус угла φ между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости, то есть косинусу угла между направляющим вектором прямой C1M и нормалью к плоскости грани ABB1A1:
значит, искомый угол равен 30°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |