РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В результате Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.

а)  Могло ли это произойти за 5 дней?

б)  Могло ли это произойти за 9 дней?

в)  Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 50 фотографий?

Решение. Пусть в первый день Наташа и Маша сделали n и m фотографий соответственно, всего они делали снимки в течение k дней. Поскольку Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша, получаем:  $k левая круглая скобка n минус m правая круглая скобка =935.$

а)  Если $k=5,$ то $n минус m= дробь: числитель: 935, знаменатель: 5 конец дроби =187,$ то есть в первый и каждый последующий день Наташа делала на 187 фотографий больше, чем Маша, тогда за пять дней Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.

б)  Так как $k левая круглая скобка n минус m правая круглая скобка =935,$ 935 кратно k, но 935 на 9 без остатка не делится. Таким образом, за девять дней Наташа не сделала бы на 935 фотографий больше, чем Маша.

в)  В последний день Маша сделала меньше 50 фотографий, то есть $m плюс k минус 1 меньше 50 равносильно m плюс k меньше 51,$ откуда $k меньше 50.$ Так как k является делителем числа 935 и $k меньше 50,$ либо $k=5,$ либо $k=11,$ либо $k=17.$

Поскольку количество фотографий Наташи отличается от Машиных на константу, будем максимизировать количество снимков Маши.

Если $k=5,$ $m плюс 4 меньше 50,$ откуда наибольшее возможное значение $m=45.$ Найдем общее количество фотографий:

$дробь: числитель: 2 умножить на 45 плюс 4, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=235.$

Если $k=11,$ $m плюс 10 меньше 50,$ откуда наибольшее возможное значение $m=39.$ Найдем общее количество фотографий:

$дробь: числитель: 2 умножить на 39 плюс 10, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 11=484.$

Если $k=17,$ $m плюс 16 меньше 50,$ откуда наибольшее возможное значение $m=33.$ Найдем общее количество фотографий:

$дробь: числитель: 2 умножить на 33 плюс 16, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 17=697$

Таким образом, наибольшее количество фотографий, сделанных Машей, равно 697, а Наташей  — 697 + 935 = 1632.

Ответ:а) Да; б) Нет; в) 1632.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение п. a;   — обоснованное решение п. б;   — искомая оценка в п. в;   — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	518032	а) Да; б) Нет; в) 1632.

Ключ