PDF-версии: 
В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO.
а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.
Решение. а) Пусть CO пересекает AB в точке F, OB1 пересекает AB в точке E, CO пересекает BB1 в точке G, а углы A, B и C соответственно α, β и γ. Покажем, что отрезок AB1 виден из точек
В треугольнике CGB имеем:
Тогда 
В треугольнике OGB имеем: 
тогда 
Треугольник B1OB равнобедренный, поскольку GO — серединный перпендикуляр к BB1. Поэтому 
В треугольнике ABC точка O — инцентр, поэтому 
Следовательно, 
б) Площадь четырехугольника AOBB1 найдем по формуле 
Заметим, что B1O = OB, поскольку треугольник B1OB равнобедренный, и что 
из треугольника EOB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в нем 
Далее опустим перпендикуляр OH на сторону BC. Тогда 
как радиус вписанной окружности. Тогда 
откуда 
Далее имеем:
Тогда 
Ответ: б) 18.
Приведем другое решение.
а) Пусть CO пересекает BB1 в точке G, а угол C равен γ. В треугольнике B1CB отрезок CG является высотой и медианой, тогда треугольник B1CB равнобедренный, отрезок CG является биссектрисой, следовательно, луч CB1 совпадает с лучом CA, и точка A лежит на отрезке CB1. В треугольнике CGB1 имеем:
В треугольнике ABC точка O — инцентр, поэтому
Следовательно, в четырехугольнике B1AOB имеем:
а потому четырехугольник B1AOB вписанный, и точки B1, A, O, B лежат на одной окружности.
б) Площадь четырехугольника AOBB1 найдем как сумму площадей треугольников: 
Причём 
где r — радиус окружности, вписанный в треугольник ABC. Для сторон треугольника ABC выполнено соотношение 
следовательно, угол C прямой. Тогда
откуда 
Площадь треугольника ABB1 найдем как разность площадей треугольников BCB1 и ABC:
В результате получим 
Приведем решение пункта б) Натальи Лесниченко.
Заметим, что 
Высоты треугольников AOC и AOB равны радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC.
Для сторон треугольника ABC выполнено соотношение следовательно, угол C прямой. Тогда
Следовательно,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |