Ре­ше­ние. До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят Вы­ра­зим y через x:

Зна­чит, нам нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции при Для этого най­дем про­из­вод­ную функ­ции

Най­дем кри­ти­че­ские точки:

то есть   — един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка, удо­вле­тво­ря­ю­щая усло­вию Най­дем зна­че­ния функ­ции в най­ден­ной точке и на кон­цах от­рез­ка:

Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 100, зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра равно 100.

Ответ: 100.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние

Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­та­ют сум­мар­но а на вто­ром  — часов в не­де­лю. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при усло­вии

Вы­ра­зим y из пер­во­го со­от­но­ше­ния: под­ста­вим в (*), по­лу­чим урав­не­ние:

По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ния, если не­от­ри­ца­те­лен его дис­кри­ми­нант, а зна­чит, и чет­верть дис­кри­ми­нан­та:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние равно 100. По­ка­жем, что оно до­сти­га­ет­ся при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных: дей­стви­тель­но, из (**) на­хо­дим, что зна­че­нию со­от­вет­ству­ет а тогда

Ответ: 100.