РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 517549 Добавить в вариант

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка \ln левая круглая скобка 4x минус a правая круглая скобка = левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Решение. Имеем уравнение вида $xy=xz,$ откуда на ОДЗ либо $x=0,$ либо $y=z.$ Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: $3x минус 1=0$ при условиях:

$система выражений 4x минус a больше 0,3x плюс a больше 0. конец системы .$

Имеем:

$система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус a больше 0,3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс a больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , минус 1 меньше a меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы .$

Число $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: $минус 1 меньше a меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Второй случай: $\ln левая круглая скобка 4x минус a правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$

$система выражений 4x минус a=3x плюс a,3x плюс a больше 0 конец системы . равносильно система выражений x=2a,7a больше 0 конец системы . равносильно система выражений x=2a, a больше 0. конец системы .$

Число $x=2a$ лежит на отрезке [0; 1], если $0 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Тогда для второго случая получаем: $0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Корень $x=2a$ совпадает с корнем $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ если $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при $минус 1 меньше a \leqslant0, a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $минус 1 меньше a \leqslant0, a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки	3
В решении верно найдены корни ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки	2
В решении верно найден один из корней	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

517549

$минус 1 меньше a \leqslant0, a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517549	$минус 1 меньше a \leqslant0, a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$