PDF-версии: 
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, причем 
и точка M внутри трапеции, такая, что 
а) Докажите, что АM = DM.
б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50°, а высота, проведённая из точки M к АD, равна BC.
Решение. а) Продлим боковые стороны трапеции.
поэтому BC — средняя линия треугольника AQD, тогда 
Углы MCD и MBA прямые, из чего следует, что MC и MB — медианы и высоты, тогда треугольники QMD и QMA равнобедренные, то есть 
а значит, 
что и требовалось доказать.
б) Опустим высоту MN в равнобедренном треугольнике AMD. По условию задачи 
MN — медиана, откуда 
тогда 
MN — медиана, 
поэтому угол 
Треугольник MND прямоугольный и равнобедренный, тогда 
Заметим теперь, что 
тогда 
Имеем:
откуда 
Тогда 
Ответ: б)
Примечание.
Точка М не является точкой пересечения диагоналей трапеции. Точки А, М и С не лежат на одной прямой. Точки В, М и D не лежат на одной прямой.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |