Тип 19 № 517437 
Источник: ЕГЭ — 2017
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На доске написано 30 различных натуральных чисел, оканчивающихся на 4 или на 8. Сумма равна 2786.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 и на 8?
б) Может ли на доске быть ровно 4 числа, оканчивающихся на 8?
в) Каково наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8?
Решение. а) Если на доске написано по 15 чисел, оканчивающихся на 4 и на 8, то их сумма оканчивается на 0. Это противоречит тому, что сумма 2786.
б) Пусть на доске ровно 4 числа, оканчивающихся на 8. Тогда на доске написано 26 чисел, оканчивающихся на 4. Их сумма не меньше, чем сумма: 
Это противоречит тому, что сумма равна 2786.
в) Пусть на доске написано n чисел, оканчивающихся на 8, и 30 − n чисел, оканчивающихся на 4. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 4 не меньше суммы:
Сумма чисел оканчивающихся на 8, не меньше суммы:
Таким образом, 
откуда n ≥ 8, так как 
Если на доске написано 8 чисел, оканчивающихся на 8, и 22 числа, оканчивающихся на 4, то их сумма оканчивается на 2. Значит, чисел, оканчивающихся на 8, больше 8.
Приведём пример 9 чисел, оканчивающихся на 8, и 21 число, оканчивающееся на 4, с суммой 2786: 8, 18, ..., 78, 258; 4, 14, ..., 204.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.
517437
а) нет; б) нет; в) 9.
PDF-версии: