Тип 19 № 517435 
Источник: ЕГЭ — 2017
Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках
i
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 793.
а) Может ли на доске быть 23 чётных числа?
б) Может ли на доске быть 1 число, оканчивающееся на три?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на три?
Решение. а) Да, например: 2 + 4 + ... + 42 + 44 + 56 + 3 + 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 793.
б) Пусть на доске написано одно число, оканчивающееся на 3. Тогда на доске написано 29 чётных чисел. Их сумма не меньше, чем: 
Это противоречит тому, что сумма равна 793.
в) Заметим, что число 793 не кратно 2, сумма чётных чисел кратна двум, тогда сумма чисел, оканчивающихся на 3, должна быть не кратна двум, то есть слагаемых, оканчивающихся на 3, должно быть нечётное количество. В пункте б) показано, что на доске не может быть написано только одно число оканчивающееся на 3. Пусть на доске написано три таких числа, их минимальная сумма: 
— больше чем 793. Тогда наименьшее количество чисел, оканчивающееся на 3 — пять.
Приведём пример, когда на доске написано 5 чисел, оканчивающихся на три:
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
517435
а) да; б) нет; в) 5.
PDF-версии: