РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 517426 Добавить в вариант

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3\geqslant0, логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби минус 4 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 3x в квадрате конец аргумента плюс x в квадрате правая круглая скобка конец дроби конец системы .$

Решение. Заменой $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =t больше 0$ первое неравенство системы приводится к виду $t в квадрате минус 2t минус 3 больше или равно 0.$ Тогда $t меньше или равно минус 1,$ что невозможно, или $t больше или равно 3,$ откуда $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 3,$ $x больше или равно \log _23.$ Заметим, что $\log _23 больше \log _22=1,$ тем самым, $x больше 1.$

Для $x больше 1$ упростим правую часть второго неравенства:

$дробь: числитель: \log _2,5 левая круглая скобка x в квадрате минус x корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _0,4 левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 3x конец аргумента в квадрате плюс x в квадрате правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: \log _2,5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _0,4 левая круглая скобка x в квадрате минус 2|x| корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \undersetx больше 1\mathop= дробь: числитель: минус \log _0,4, знаменатель: левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец дроби \log _0,4 левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = минус 1.$ $дробь: числитель: \log _2,5 левая круглая скобка x в квадрате минус x корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _0,4 левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 3x конец аргумента в квадрате плюс x в квадрате правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: \log _2,5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _0,4 левая круглая скобка x в квадрате минус 2|x| корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \undersetx больше 1\mathop= дробь: числитель: минус \log _0,4, знаменатель: левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец дроби \log _0,4 левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = минус 1.$

Выполненные преобразования справедливы при условиях $левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате больше 0,$ $левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате не равно 1.$

Таким образом, при $x больше или равно \log _23,x не равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,x не равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента \pm 1$ имеем:

$\log _0,5 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби минус 4 правая круглая скобка больше или равно минус 1 равносильно \log _0,5 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка больше или равно \log _0,52 равносильно 0 меньше дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби \leqslant2 равносильно$ $\log _0,5 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби минус 4 правая круглая скобка больше или равно минус 1 равносильно$
$равносильно \log _0,5 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка больше или равно \log _0,52 равносильно 0 меньше дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби \leqslant2 равносильно$ $\log _0,5 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби минус 4 правая круглая скобка больше или равно минус 1 равносильно$
$равносильно \log _0,5 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка больше или равно \log _0,52 равносильно$
$равносильно 0 меньше дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби \leqslant2 равносильно$

$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 0, новая строка x в квадрате минус 4x плюс 4 меньше или равно 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка x не равно 2, новая строка x в квадрате минус 6x плюс 6 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x не равно 2, новая строка 3 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 3 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец системы .$ $равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 0, новая строка x в квадрате минус 4x плюс 4 меньше или равно 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x не равно 2, новая строка x в квадрате минус 6x плюс 6 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x не равно 2, новая строка 3 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 3 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец системы .$

Заметим, что $\log _23 больше \log _22 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =1,5 больше 3 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ С другой стороны, $3\log _23=\log _227 меньше \log _232=5,$ а $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента больше 5,$ откуда $\log _23 меньше корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Таким образом, $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 меньше 3 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше \log _23 меньше корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше 2 меньше корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1$ и, следовательно, множеством решений данной системы неравенств является множество $левая квадратная скобка \log _23; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка \log _23; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

517426

$левая квадратная скобка \log _23; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая квадратная скобка .$