PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Решение. Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, на координатной плоскости xОa. Гипербола
и график корня 
пересекаются в точке A(2; 1). Гипербола и прямая 
пересекаются в точке 
График корня и прямая пересекаются в точке C(5; 2). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе (выделено штриховкой на рисунке), состоит из точек криволинейного треугольника ABC, не включая границу, лежащую на дуге АС.
Поскольку система должна иметь хотя бы одно решение на отрезке
[3; 4], осталось определить наименьшую и наибольшую ординаты проекции выделенного на рисунке четырехугольника на ось ординат. Проекции точек B и 
дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4] при 
Ответ:
Приведем аналитическое решение. Заметим, что искомыми могут быть только положительные значения параметра и запишем систему в виде
Заметим, что
и рассмотрим три случая.
Если 
то решением системы является полуинтервал 
имеющий общие точки с отрезком [3; 4].
Если 
то 
Тогда решением системы является отрезок 
Он существует, если
и пересекается с отрезком [3; 4] тогда и только тогда, когда
При 
этот отрезок вырождается в точку 4, система имеет единственное решение 
это решение лежит на отрезке [3; 4].
Если 
то 
В этом случае решением системы является полуинтервал 
Этот полуинтервал существует, если
и имеет общие точки с отрезком [3; 4] тогда и только тогда, когда
Объединяя рассмотренные случаи, получаем ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |