PDF-версии: 
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?
Решение. а) Число 199 простое, поэтому разбить исходное множество на два подмножества с одинаковым произведением чисел невозможно: одно из произведений будет делиться на 199, другое нет.
б) Разобьём множество {2; 4; 8; ...; 2200} на два множества стоэлементных множества следующим образом:
{21, 2200, 23, 2198, ..., 299, 2102},
{22, 2199, 24, 2197, ..., 2100, 2101}.
Произведение чисел в этих двух подмножествах одинаковы и равны (2201)50, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)
в) Простые числа 5, 7 и 11 не могут входить в хорошие подмножества (аналогично п. а). Поэтому хорошие четырёхэлементные множества можно составлять только из чисел 1; 3; 4; 6; 9; 12. Осуществим перебор. Непосредственной проверкой убеждаемся, что к числу 1 в пару можно взять только число 12; находим множество {1; 12; 3; 4}. Из оставшихся чисел 3; 4; 6; 9; 12 к числу 3 в пару также можно взять только число 12; находим множество {3; 12; 4; 9}. Остаются числа 4; 6; 9; 12, они не образуют хорошее множество. Других вариантов нет.
Ответ: а) нет; б) да; в) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших чертырёхэлементных подмножеств; ― в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |