РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 516303 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнение окружности

Задача с параметром. Уравнение окружности

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0, y=ax плюс a плюс 3 конец системы .$

не имеет решений.

Решение. Уравнение $y=ax плюс a плюс 3$ задает прямую. Эта прямая при всех a проходит через точку $A левая круглая скобка минус 1;3 правая круглая скобка .$

Неравенство системы $левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0$ задает объединение круга с центром в точке $K левая круглая скобка 5;3 правая круглая скобка$ и радиусом $3$ и точки $M левая круглая скобка 2; минус 1 правая круглая скобка .$ Система не будет иметь решений тогда и только тогда, когда прямая $y=ax плюс a плюс 3$ не имеет общих точек с кругом и не проходит через точку $M.$

Расстояние между точками $A левая круглая скобка минус 1;3 правая круглая скобка$ и $K левая круглая скобка 5;3 правая круглая скобка$ равно $6,$ а радиус круга равен $3,$ значит, касательные к кругу проведённые из точки $A левая круглая скобка минус 1;3 правая круглая скобка ,$ образуют углы $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ с прямой $AK.$ Этим касательным соответствуют значения $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .$

Прямая AM имеет угловой коэффициент $минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Отсюда получаем $a меньше минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби ; a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены все значения $a$ , но ответ содержит лишнее значение.	3
Начато верное рассуждение и даже получено одно какое-нибудь значение параметра, но до конца задача не доведена.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

516303

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Уравнение окружности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	516303	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$