РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 516279 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 2x минус 3a$ имеет ровно 3 решения.

Решение. Перейдём к системе

$система выражений новая строка x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате =x в степени 4 плюс 4x в квадрате плюс 9a в квадрате плюс 4x в кубе минус 6ax в квадрате минус 12ax, новая строка x в квадрате плюс 2x минус 3a больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка 3ax левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =2x в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , новая строка x в квадрате плюс 2x минус 3a больше или равно 0. конец системы .$ $система выражений новая строка x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате =x в степени 4 плюс 4x в квадрате плюс 9a в квадрате плюс 4x в кубе минус 6ax в квадрате минус 12ax, новая строка x в квадрате плюс 2x минус 3a больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 3ax левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =2x в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , новая строка x в квадрате плюс 2x минус 3a больше или равно 0. конец системы .$

Уравнение имеет корни $x=0$ и $x= минус 2,$ при любых значениях a и ещё один корень $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a,$ который не должен совпадать с двумя другими. Значит, $a не равно минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ и $a не равно 0.$ При этом должно выполняться неравенство $x в квадрате плюс 2x минус 3a больше или равно 0.$

Получаем:

$система выражений новая строка левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 минус 3a\geqslant0, новая строка 0 в квадрате плюс 0 минус 3a больше или равно 0, новая строка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби a в квадрате плюс 3a минус 3a больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка a меньше или равно 0, новая строка a в квадрате больше или равно 0 конец системы . равносильно a меньше или равно 0,$

откуда получаем ответ.

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены все значения $a$ , но ответ содержит лишнее значение	3
С помощью верного рассуждения получены все решения уравнения	2
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

516279

$a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	516279	$a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$