PDF-версии: 
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.
Решение. а) Проведём отрезок
параллельный 
Пусть M — точка пересечения отрезков 
и 
Треугольник BMR прямоугольный с прямым углом при вершине M. Это следует из равенства треугольников 
и 
Значит, прямые QB и перпендикулярны. Прямые QB и PR перпендикулярны, поскольку прямая PR перпендикулярна плоскости 
Поэтому прямая QB перпендикулярна плоскости 
и, следовательно, прямая QB перпендикулярна прямой 
б) Указанное сечение — прямоугольник 
Его площадь равна 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |