PDF-версии: 
Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O1 также вписана в этот угол и проходит через точку O.
а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 
Решение. а) Пусть AO = l, O1O = R. Заметим, что O и O1 лежат на прямой O1A, так как вписаны в один и тот же угол, следовательно, O1 и O лежат на биссектрисе. Поскольку O1A — биссектриса, ∠O1AC = 30°. Поскольку AC касается окружности, AC ⊥ O1C и AB ⊥ OB. Тогда треугольники O1CA и OBA — прямоугольные. Поэтому
и 
Имеем 
б) Из предыдущего пункта следует, что 
По теореме косинусов в треугольнике KOO1 имеем:
Поскольку KO, OT, O1K, O1T — радиусы, следовательно, KO = OT, O1K = O1T. Тогда KOTO1 — дельтоид. Значит, OO1 ⊥ TK. Значит, треугольник KMO1 — прямоугольный. Тогда 
Поскольку треугольник MOT — прямоугольный, то OM — высота и медиана в треугольнике KO1T. Таким образом, KT = 2KM = 15.
Ответ: б) 15.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |