Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. Для этого ра­бо­чие в каж­дой из об­ла­стей долж­ны ра­бо­тать по 5 часов в сутки. Всех ра­бо­чих пер­вой об­ла­сти не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния: за еди­ни­цу вре­ме­ни они до­бы­ва­ют его в три раза боль­ше, чем ни­ке­ля. За сутки в пер­вой об­ла­сти до­бу­дут кг алю­ми­ния.

Во вто­рой об­ла­сти 90 ра­бо­чих, ра­бо­тая по 5 часов, за­тра­тят на до­бы­чу ме­тал­ла 450 че­ло­ве­ко-часов. Пусть x че­ло­ве­ко-⁠часов они за­тра­тят на до­бы­чу алю­ми­ния, тогда 450 − x часов будет за­тра­че­но на до­бы­чу ни­ке­ля. Всего будет до­бы­то кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее на зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [0; 450]. При­ме­няя не­ра­вен­ство между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним квад­ра­тич­ным, по­лу­ча­ем:

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда от­ку­да При най­ден­ном зна­че­нии х будет до­бы­то кг ме­тал­ла (15 кг алю­ми­ния и 15 кг ни­ке­ля).

Общая масса ме­тал­лов со­став­ля­ет 135 + 30  =  165 кг.

Ответ: 165 кг.