РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на 12, и сумма его цифр делится на 12.

А)  Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?

Б)  Найдите наименьшее возможное число N;

В)  Найдите наибольшее возможное число N;

Г)  Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N, содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр?

Решение. а)  Да, например, 56 724.

б)  Наименьшее возможное число  — 10 056. Меньшие числа, кратные 12, это 10008, 10020, 10032, 10044. Ни у одного из них сумма цифр не кратна 12.

в)  Наибольшее возможное число  — 99972. Большие числа, кратные 12, это 99984, 99996. Ни у одного из них сумма цифр не кратна 12.

г)  Bсе цифры одинаковыми быть не могут  — получилось бы число вида $a умножить на 11111,$ а такие на 12 не делятся. Покажем, что четыре одинаковые цифры могут быть. Поскольку сумма цифр кратна 12 (и поэтому кратна 3), число кратно трем. Чтобы оно было кратно еще и четырем, последние две его цифры должны образовывать число, кратное 4. Переберем варианты:

$1 плюс 1 плюс 1 плюс 1 плюс 8$   — невозможно, так как числа 11, 18, 81 не кратны 4;

$2 плюс 2 плюс 2 плюс 2 плюс 4$   — возможно, если число кончается на 24; такое число одно;

$3 плюс 3 плюс 3 плюс 3 плюс 0$   — невозможно, так как числа 30, 33, 03 не кратны 4;

$4 плюс 4 плюс 4 плюс 4 плюс 8$   — возможно с любой перестановкой цифр, имеется 5 вариантов;

$5 плюс 5 плюс 5 плюс 5 плюс 4$   — невозможно, так как числа 55, 45, 54> не кратны 4;

$6 плюс 6 плюс 6 плюс 6 плюс 0$   — возможно, если число кончается на 60; такое число одно;

$7 плюс 7 плюс 7 плюс 7 плюс 8$   — невозможно, так как числа 77, 78, 87 не кратны 4;

$8 плюс 8 плюс 8 плюс 8 плюс 4$   — возможно с любой перестановкой цифр, имеется 5 вариантов;

$9 плюс 9 плюс 9 плюс 9 плюс 0$   — невозможно, так как числа 99, 90, 09 не кратны 4.

Итого $12$ чисел.

Ответ: а) да; б) 10 056; в) 99 972; г) 4 цифры, 12 чисел.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515207	а) да; б) 10 056; в) 99 972; г) 4 цифры, 12 чисел.

Ключ