PDF-версии: 
i
В неравнобедренном треугольнике ABC угол BAC равен 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность ω1 в точке Е. Окружность ω2, описанная около треугольника АDE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.
А) Докажите, что DE — биссектриса угла FDB.
Б) Найдите радиус окружности ω2, если известно, что АС = 6, АF = 2.
Угол 
опирается на дугу 
равную сумме дуг 
и 
то есть сумме дуг 
(поскольку E лежит на биссектрисе ACB). Следовательно, 
(они оба равны полусумме дуг CA и BE). Итак, 
что и требовалось доказать.
Тогда треугольники 
и 
равны по второму признаку (общая сторона и равные углы, прилежащие к ней, см. п.а). То есть 
Тогда треугольники 
и 
равны по стороне и двум углам 
так как оба угла равны
а 
поскольку CD — биссектриса). Итак, 
По теореме косинусов, обозначая 
получим
(второй корень отрицательный).
Тогда по теореме синусов для треугольника FDE:
