РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 514872 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 162

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

Дано уравнение $левая круглая скобка 2x минус 2 правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 6=0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Сделаем замену $t= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка ,$ уравнение примет вид $2t в квадрате минус t минус 6=0,$ откуда $t=2$ или $t= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ Уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =2$ дает $x в квадрате =1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ $x=\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента .$ Уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ дает $x в квадрате =1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби меньше 0$ и корней не имеет.

б)  Очевидно $корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента$   — положительное число, при этом $корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента меньше корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента .$ Докажем это. Возведем в шестую степень:

$левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в кубе меньше 16 равносильно 1 плюс 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 6 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 16 равносильно$
$равносильно 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 9 равносильно 50 меньше 81.$ $левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в кубе меньше 16 равносильно$
$равносильно 1 плюс 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 6 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 16 равносильно$
$равносильно 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 9 равносильно 50 меньше 81.$

Проверим второй корень: $минус корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента меньше минус корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента = минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ он не лежит на заданном отрезке.

Ответ: а) $левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514872

а) $левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 162

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514872	а) $левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $корень из: начало аргумента: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента .$