PDF-версии: 
Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Если x ≥ 0, то уравнение (|x| − 5)2 + (y − 4)2 = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C1 (5; 4) радиусом 3, а если x < 0, то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (−5; 4) таким же радиусом (см. рис.).
При положительных значениях a уравнение (x + 2)2 + y2 = a2 задаёт окружность ω с центром в точке C (−2; 0) радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2.
Из точки C проведём луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью ω1, где A1 лежит между C и C1. Так как
то
При a < CA1 или a > CB1 окружности ω и ω1 не пересекаются.
При CA1 < a < CB1 окружности ω и ω1 имеют две общие точки.
При a = CA1 или a = CB1 окружности ω и ω1 касаются.
Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью ω2, где A2 лежит между C и C2. Так как
то
При a < CA2 или a > CB2 окружности ω и ω2 не пересекаются.
При CA2 < a < CB2 окружности ω и ω2 имеют две общие точки.
При a = CA2 или a = CB2 окружности ω и ω2 касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1, то условию задачи удовлетворяют только числа 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но — или в ответ включены также и одно-два неверных значения; — или решение недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |