PDF-версии: 
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
Решение. а) Пусть углы при основании ВС равнобедренного треугольника ABC равны 2α, тогда углы при основании BD равнобедренного треугольника LBD равны α. Но угол LCB является внешним углом треугольника LCD, он равен сумме углов CDL и CLD. Поэтому угол CLD также равен α, и, следовательно, треугольник LCD равнобедренный.
б) Пусть ВС = х, а АК — медиана и высота равнобедренного треугольника АВС. Тогда в прямоугольном треугольнике АКВ имеем: 
откуда 
Биссектриса BL делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: 
поскольку 
получаем: 
В пункте а) было доказано, что треугольник LCD равнобедренный, поэтому 
Применим теорему Менелая к треугольнику ABC:
откуда 
Ответ: 9 : 7 (или 7 : 9).
Приведем решение п. б), предложенное Олегом Цимбалистом.
Пусть 
Тогда 
как внешний угол треугольника BLD. По теореме синусов для треугольника BHL имеем
Заметим теперь, что 
а 
По теореме синусов для треугольника AHL имеем
Значит,
Приведем ещё одно решение.
а) Обозначим 
тогда 
поэтому 
значит, треугольник LCD равнобедренный.
б) Пусть H — точка пересечения DL с AB. Тогда
поэтому 
по двум углам. Отсюда 
Поскольку 
то 
Пусть BC = x, AB = 3x. По теореме о биссектрисе 
откуда находим 
Тогда
откуда 
Еще несколько подходов изложены при решении задания 513277.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |