PDF-версии: 
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ACB = 30°.
Решение. а) Достроим треугольник ABC до параллелограмма ALBC, тогда M − точка пересечения его диагоналей.
AL = BC = KC . AC = CD.
Тогда треугольники LAC и KCD равны по двум сторонам и углу между ними. Откуда LC = KD, а 
б) Пусть O1 — центр квадрата CKFB. Тогда MO1 — средняя линия треугольника AKB. Найдем теперь AK по теореме косинусов из треугольника ACK.
откуда 
Заметим, что другое расстояние DB будет таким же, так треугольники AKC и BDC равны (AC = CD, BC = CK, 
).
Ответ: б) 7.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |