PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке K.
а) Докажите, что B1K : KC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
Решение. а) Пусть прямые AP и BB1 пересекаются в точке X (см. рис.). Тогда точка K — точка пересечения прямых XQ и B1C1. Треугольники AXB и PXB1 подобны, откуда
Треугольники B1XK и C1QK тоже подобны, а потому
Значит, 
б) Пусть Y — точка пересечения прямых QX и BC, а V — точка пересечения прямых CD и AY. Тогда пятиугольник APKQV — сечение, площадь которого надо найти. Треугольники C1KQ и CYQ равны, откуда CY = C1K = 1. Треугольники AYB и VYC подобны, откуда 
Четырёхугольник APKY — равнобедренная трапеция, в которой
Треугольник QYV — равносторонний со стороной 
его площадь 
Вычислим высоту трапеции APKY, 
Таким образом, её площадь 
Значит, искомая площадь равна
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
Проведем прямую AP, проведем прямую QT параллельную прямой AP, соединим точки A и T, проведем прямую PK параллельно прямой AT, соединим точки K и Q. Пятиугольник APKQT — искомое сечение.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. В этой системе координат: 
Подставим координаты точек плоскости A, P и Q в уравнение плоскости 
получим:
Из первого уравнения системы находим 
Подставим во второе уравнение и выразим С:
Находим B:
Получаем уравнение плоскости APQ:
По условию 
тогда 
Подставим координаты точки K в уравнение плоскости APQ: 
—
б) Спроектируем сечение APKQT на плоскость ABC, получим пятиугольник AP′K′CT (см. рис.). Треугольники AA1P и QCT подобны по двум углам, значит, CT = 1 и TD = 3. Поэтапно найдем площадь AP′K′CT:
Найдем угол φ между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Вектор нормали к плоскости APQ имеет координаты 
Нормалью к плоскости основания ABC является вектор 
Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями к ним:
По теореме о площади ортогональной проекции получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |