РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 514626 Добавить в вариант

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 701 (часть 2).

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Сложная планиметрия. Комбинации фигур

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.

а)  Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.

б)  Найдите PQ, если AM  =  1, BM  =  3, а Q  — середина дуги MB.

Решение. а)  Поскольку $\angle AMC=\angle BMC=90 градусов,$ точки M, A и B лежат на одной прямой, значит, отрезок CM  — высота треугольника ABC (см. рис.).

Четырёхугольники AMPC и BQMC вписаны в окружности, поэтому

$\angle QPM=180 градусов минус \angle CPM=\angle MAC=90 градусов минус \angle MBC=$ $\angle QPM=180 градусов минус \angle CPM=$
$=\angle MAC=90 градусов минус \angle MBC=$

$=90 градусов минус \angle MQC=90 градусов минус \angle MQP,$

откуда $\angle PMQ=90 градусов.$

б)  Из прямоугольного треугольника ABC получаем: $CM= корень из: начало аргумента: AM умножить на BM конец аргумента = корень из 3 ,$

откуда $\angle BAC = \angle BCM=60 градусов,$ $\angle ABC= \angle ACM=30 градусов.$

Точка Q  — середина дуги MB, поэтому CQ  — биссектриса угла BCM.

Значит,

$\angle ACM = \angle MCQ= \angle QCB=30 градусов;$

$\angle CAP= \angle CAM минус \angle PAM=$
$= \angle BAC минус \angle MCP=30 градусов=\angle ACM;$ $\angle CAP= \angle CAM минус \angle PAM=$
$= \angle BAC минус \angle MCP=$
$=30 градусов=\angle ACM;$

$\angle QBC= \angle QBM плюс \angle MBC=$
$= \angle QCM плюс \angle ABC=60°=\angle MCB.$ $\angle QBC= \angle QBM плюс \angle MBC=$
$= \angle QCM плюс \angle ABC=$
$=60°=\angle MCB.$

Получаем: $CQ=BM=3;$ $CP=AM=1$ как хорды стягивающие равные дуги. Таким образом, $PQ=CQ минус CP=2.$

Ответ: б) 2.

Приведем другое решение пункта а).

Четырехугольник ACPM вписан в окружность, поэтому $\angle CPM=180 градусов минус \angle CAB.$

Углы CPM и MPQ смежные, поэтому $\angle MPQ= 180 градусов минус \angle CPM=\angle CAB.$

Углы MBC и MQC опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle MQP=\angle MQC = \angle MBC=\angle ABC.$

Следовательно, треугольники ABC и MQP подобны по двум углам, тогда $\angle PMQ=\angle ACB = 90 градусов.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 2.

514626

б) 2.

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 701 (часть 2).

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514626	б) 2.