РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 514618 Добавить в вариант

Источники:

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С3;

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 610 (часть 2).

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 26 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 21, знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 27 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Пусть $3 в степени x =t,$ тогда имеем

$t плюс дробь: числитель: 6t, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 27 конец дроби меньше или равно 1 равносильно t плюс дробь: числитель: 6t, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно t минус 1 плюс дробь: числитель: 6t левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка плюс t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $t плюс дробь: числитель: 6t, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 27 конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно t плюс дробь: числитель: 6t, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно t минус 1 плюс дробь: числитель: 6t левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка плюс t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 6t в квадрате минус 54t плюс t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1\leqslant0 равносильно дробь: числитель: 7t в квадрате минус 28t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t в квадрате минус 4t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 6t в квадрате минус 54t плюс t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1\leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7t в квадрате минус 28t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t в квадрате минус 4t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 6t в квадрате минус 54t плюс t в квадрате плюс 26t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1\leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7t в квадрате минус 28t плюс 21, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t в квадрате минус 4t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 9 конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0,t не равно 3 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 7t минус 7 плюс левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 9 конец дроби \leqslant0,t не равно 3 конец системы . равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 9 конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0,t не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 7t минус 7 плюс левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 9 конец дроби \leqslant0,t не равно 3 конец системы . равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 7 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 9 конец дроби плюс t минус 1 меньше или равно 0,t не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 7t минус 7 плюс левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 9 конец дроби \leqslant0,t не равно 3 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 3t плюс 2, знаменатель: t минус 9 конец дроби меньше или равно 0,t не равно 3 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 9 конец дроби меньше или равно 0,t не равно 3. конец системы .$

Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя $t=1$ и $t=2.$ Корень знаменателя $t=9.$ (см. рис.)

Таким образом, имеем:

$совокупность выражений t меньше или равно 1,2 меньше или равно t меньше 3, 3 меньше t меньше 9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 в степени x меньше или равно 1,2 меньше или равно 3 в степени x меньше 3,3 меньше 3 в степени x меньше 9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно 0, логарифм по основанию 3 2 меньше или равно x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 2;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514618

$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 2;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$