РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 8 правая круглая скобка =|x| левая круглая скобка 2y минус 8 правая круглая скобка ,y=x плюс a конец системы .$

имеет ровно три различных решения.

Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1)  Если $x больше 0,$ то получаем уравнение

$x левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 8 правая круглая скобка =x левая круглая скобка 2y минус 8 правая круглая скобка \undersetx не равно 0\mathop равносильно$

$равносильно x в квадрате плюс y в квадрате минус 4y=0 равносильно x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =4.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 2) и радиусом 2.

2)  Если $x=0,$ то координаты любой точки прямой $x=0$ удовлетворяют уравнению.

3)  Если $x меньше 0,$ то получаем уравнение

$x левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 8 правая круглая скобка =x левая круглая скобка 8 минус 2y правая круглая скобка \undersetx не равно 0\mathop равносильно x в квадрате плюс y в квадрате минус 16=0 равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =16.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 4.

Таким образом, в первом случае получаем дугу $\omega_1$ окружности $x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =4$ с концами в точках O и A(0; 4), во втором  — прямую l, задаваемую уравнением x  =  0, в третьем  — дугу $\omega_2$ окружности $x в квадрате плюс y в квадрате =16$ с концами в точках A и B(0; −4) (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y  =  x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при $a= минус 4,a=0$ и $a=4$ соответственно.

При $a=2 минус 2 корень из 2$ и $a=4 корень из 2$ прямые m касаются дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой $\omega_1$ при $a=2 минус 2 корень из 2$ и $0 меньше a\leqslant4,$ имеет две общие точки с дугой $\omega_1$ при $2 минус 2 корень из 2 меньше a\leqslant0,$ имеет одну общую точку с дугой $\omega_2$ при $минус 4 меньше или равно a меньше 4$ и $a=4 корень из 2 ,$ имеет две общие точки с дугой $\omega_2$ при $4 меньше или равно a меньше 4 корень из 2 .$

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при $a=2 минус 2 корень из 2 ;$ $0 меньше или равно a меньше 4,$ $4 меньше a меньше 4 корень из 2 .$

Ответ: $a=2 минус 2 корень из 2 ,$ $0 меньше или равно a меньше 4,$ $4 меньше a меньше 4 корень из 2 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличащееся от искомого только включением/исключением точек a = 2 и/или a = 0	3
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: (0; 2) или $левая круглая скобка 2;2 корень из 2 правая круглая скобка ;$ возможно, с включением граничных точек	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл:	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514559	$a=2 минус 2 корень из 2 ,$ $0 меньше или равно a меньше 4,$ $4 меньше a меньше 4 корень из 2 .$

Ключ