Тип 19 № 514452 
Источники: ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть).
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Решение. а) Например, (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19) или (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 17).
б) Заметим, что минимальное возможное число после первого хода — 3, при дальнейших ходах минимальное возможное увеличение числа за один ход не меньше 2. Таким образом, минимальное возможное число после 100 ходов не меньше 
что больше 200.
в) Исходные числа 2 и 3 отличаются на 1 — имеют вид a и 
Из них можно получить равные числа 
и 
что не разрешается, или числа, отличающиеся на 2: 
и 
Кроме того, если получать равные числа запрещено, то после нечетного хода всегда будет получаться пара нечетных чисел, а после четного хода — четное и нечетное. Ход 1007 — нечетный, значит, после него получилось два нечетных числа. Минимальная возможная разность двух различных нечетных чисел равна 2. Покажем, что такую разницу получить возможно:
(2; 3), (3; 5), (8; 9), (15; 17), (32; 33), ... или 
Таким образом, наименьшая разность, которую можно получить за 1007 ходов, равна 2.
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2.
514452
а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2.
Источники: ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть).
PDF-версии: