РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 514371 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате меньше 11 логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 22 логарифм по основанию 2 x минус 24.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 2 x,$ тогда исходное неравенство примет вид:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0.$

Пусть теперь $z=t в квадрате минус 2t,$ тогда $z в квадрате минус 11z плюс 24 меньше 0,$ откуда

$левая круглая скобка z минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 8 правая круглая скобка меньше 0.$

Вернемся к переменной t, получим целое неравенство, решим его методом интервалов:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше t меньше минус 1,3 меньше t меньше 4. конец совокупности .$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше t меньше минус 1,3 меньше t меньше 4. конец совокупности .$

Вернемся к переменной х, получим простейшие логарифмические неравенства.

Для $минус 2 меньше t меньше минус 1$ получаем $минус 2 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус 1,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Для $3 меньше t меньше 4$ получаем $3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 4,$ откуда $8 меньше x меньше 16.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$

Примечание.

Можно было бы явно решить неравенство относительно z, затем относительно t и х. Это способ показан при решении задачи 519643.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514371

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514371	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$