РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 514254 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 24 больше 0.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ тогда неравенство примет вид:

$t в квадрате минус 10t плюс 24 больше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше 4,t больше 6. конец совокупности .$ $t в квадрате минус 10t плюс 24 больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше 4,t больше 6. конец совокупности .$

При $t меньше 4$ получим:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 4 равносильно$
$равносильно 0 меньше 16 плюс 6x минус x в квадрате меньше 16 равносильно 0 меньше x в квадрате минус 6x меньше 16 равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус 6x больше 0x в квадрате минус 6x минус 16 меньше 0. конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 4 равносильно$
$равносильно 0 меньше 16 плюс 6x минус x в квадрате меньше 16 равносильно$
$равносильно 0 меньше x в квадрате минус 6x меньше 16 равносильно система выражений x в квадрате минус 6x больше 0x в квадрате минус 6x минус 16 меньше 0. конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 4 равносильно$
$равносильно 0 меньше 16 плюс 6x минус x в квадрате меньше 16 равносильно$
$равносильно 0 меньше x в квадрате минус 6x меньше 16 равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус 6x больше 0x в квадрате минус 6x минус 16 меньше 0. конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 4 равносильно$
$равносильно 0 меньше 16 плюс 6x минус x в квадрате меньше 16 равносильно$
$равносильно 0 меньше x в квадрате минус 6x меньше 16 равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус 6x больше 0x в квадрате минус 6x минус 16 меньше 0. конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8. конец совокупности .$

При $t больше 6$ получим:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка больше 6 равносильно$
$равносильно 16 плюс 6x минус x в квадрате больше 64 равносильно x в квадрате минус 6x плюс 48 меньше 0.$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка больше 6 равносильно$
$равносильно 16 плюс 6x минус x в квадрате больше 64 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 6x плюс 48 меньше 0.$

Последнее неравенство решений не имеет.

Решение исходного неравенства: $минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514254

$левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка .$