PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Решение. Сделаем замену 
Тогда полученное уравнени должно будет иметь единственный положительный корень.
Заметим сразу, что 
никогда не является корнем этого уравнения, поэтому умножение на 
было равносильным преобразованием.
Случай 1. Это не квадратное уравнение (
). Тогда 
что удовлетворяет условию.
Случай 2. Это квадратное уравнение, у которого имеется единственный корень. Тогда
откуда 
Поскольку этот единственный корень равен 
то он, очевидно, положителен при 
и отрицателен при 
Случай 3. У этого уравнения два корня, но лишь один из них положительный. Тогда их произведение неположительно.
Если 
то один из корней отрицателен, а второй равен нулю. Это не подходит.
Если же 
то есть 
то 
поэтому корни в самом деле есть, и ровно один из них положительный, что и требуется.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |