РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 514046 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Показательные неравенства

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби меньше или равно минус 2.$

Решение. Сделаем замену $y= логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате .$ Тогда данное неравенство принимает вид

$y левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка меньше или равно минус 2 равносильно левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно 1 меньше или равно y меньше или равно 2.$

Сделаем обратную замену: $1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 2.$ Поскольку при всех $x не равно 0$ справедливо неравенство $x в квадрате плюс 1 больше 1,$ получаем систему

$x в квадрате плюс 1 меньше или равно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате ,$

равносильную данному неравенству, поскольку число 0 не является её решением.

Решим полученную систему:

$система выражений x в квадрате плюс 1 меньше или равно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате , левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы равносильно система выражений x в квадрате плюс 1 минус x в квадрате плюс 6x минус 9 меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 плюс x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы равносильно$

$равносильно система выражений 6x минус 8\leqslant0, левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате плюс x минус 4 правая круглая скобка \leqslant0 конец системы равносильно система выражений x меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 конец системы равносильно$

$равносильно система выражений x меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , совокупность выражений x больше или равно 1, x меньше или равно минус 2 конец системы конец совокупности равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , x меньше или равно минус 2. конец совокупности$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514046

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514046	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$