PDF-версии: 
Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99;
б) 101;
в) 100.
Решение. а) Будем последовательно складывать числа, пока сумма не станет больше 110. Теперь удалим последнее добавленное число. Поскольку оно было не больше 11, сумма осталась больше 110 − 11 = 99. Утверждение верно.
б) Рассмотрим 12 чисел, равных 10,1. Их сумма равна 121,2 > 110. Если взять любые 11 из них, то сумма будет равна 111,1 > 110, а если взять меньше, чем 11 чисел, то сумма будет не больше 
Следовательно, не из любого набора чисел можно выбрать несколько чисел, обладающих указанными свойствами.
в) Если среди чисел есть число, не большее 10, то можно поступить как в пункте a — прибавлять к этому числу остальные, пока сумма не станет больше 110, а потом выкинуть изначальное число. Если же все числа больше 10, то возьмем любые 10 из них. Их сумма будет не более 
и больше 
что и требуется (очевидно, 10 чисел есть, иначе их общая сумма не сможет превысить 110)
Таким образом, утверждение верно.
Ответ: а) да, б) нет, в) да.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |