PDF-версии: 
Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 10, а сумма которых больше 90, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 90, но больше:
а) 80;
б) 82;
в) 81.
Решение. а) Будем последовательно складывать числа, пока сумма не станет больше 90. Теперь удалим последнее добавленное число. Поскольку оно было не больше 10, сумма осталась больше 90 − 10 = 80. Утверждение верно.
б) Рассмотрим 11 чисел, равных 8,2. Их сумма равна 90,2 > 90. Если взять любые 10 из них, то сумма будет равна 82, а если взять меньше, чем 10 чисел, то сумма будет не больше 
Следовательно, не из любого набора чисел можно выбрать несколько чисел, обладающих указанными свойствами.
в) Пусть в наборе найдутся 9 чисел, больших 9. Тогда их сумма больше 81, но не больше чем 90, и они являются искомыми.
Если в наборе 8 или меньше чисел, больших 9. Тогда их сумма меньше 80, и можно поступить как в пункте a): последовательно прибавлять к ним те, которые меньше 9, пока сумма не станет больше 90. После чего мы можем выкинуть из суммы последнее добавленное число. Сумма окажется меньше 90, но больше 81, поскольку вычеркнули число, меньшее 9.
Таким образом, утверждение верно.
Ответ: а) да, б) нет, в) да.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |